Approche mathématique
Chapitre Six : Définitions, problèmes
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Pourquoi les mathématiques ?

Infini potentiel, infini actuel. Ces deux approches de l'infini, radicalement opposées, se retrouvent dans les mathématiques. On pourrait penser que le tabou de l'infini actuel n'est plus de mise en mathématiques. Pourtant, l'infini actuel pose toujours les mêmes problèmes. Son existence reste un postulat, que certains rejettent. La différence est peut-être qu'ici, le choix est motivé, c'est-à-dire fondée sur des démonstrations dont la conclusion, dans le cadre des hypothèses faites, ne peut être remise en question. Ainsi, la réponse donnée par Feferman à l'éternelle question de l'existence d'un infini actuel : « pour les mathématiques utiles, c'est-à-dire applicables au monde physique, il n'est pas logiquement nécessaire d'accepter l'infini actuel » [1] .

Pour que de telles affirmations puissent être formulées, il faut que l'infini ait représenté un vaste sujet de réflexion. Cette recherche millénaire a permis, par exemple, de résoudre le problème d'Achille et la tortue. Nombreux sont les paradoxes, eux aussi millénaires, qui n'ont pas résisté aux mathématiciens. Mais, c'est seulement au XIXeme siècle que les principaux progrès furent réalisés. Nous disposons donc, grâce aux mathématiques, de nouveaux outils pour aborder la question de l'infini. De plus, seules les mathématiques nous les proposent. Ces outils permettent, par exemple, de ne pas s'appesantir sur certaines questions auxquelles la science a donné une réponse sûre et définitive. Ainsi, comme nous le verrons plus loin, la théorie de la convergence explique le paradoxe de Zénon d'Elée.

Mais il serait ridicule de plaquer une théorie mathématique sur un texte littéraire, si celui-ci ne présentait aucun rapport avec cette science. Or, il se trouve qu'avec Borges, les mathématiques apparaissent trop souvent pour négliger cette possibilité de créer de vastes parallèles.

 Commençons par quelques remarques biographiques. Lorsque Borges évoque son enfance, il parle de la bibliothèque de son père. C'est dans ce lieu qu'il a passé la majeure partie de son temps, dévorant les livres en espagnol et en anglais, au hasard de ses découvertes. Parmi ceux-ci se trouvaient l’Encyclopaedia Britanica et les ouvrages scientifiques, notamment mathématiques. Le jeune Borges a donc grandi dans cet univers où Leibnitz et Cantor côtoyaient Schopenhauer. Ainsi, dans « Tlön » (F 11), le narrateur Borges, évoquant son enfance, se souvient de discussions à propos du système duodécimal. Le monde des mathématiques le fascine, sûrement parce qu'il joue avec l'infini. Comme certaines questions mathématiques font directement référence à l'infini, Borges les a intégrées à son système de conventions, toujours dans l'optique de faire des allusions ponctuelles à l'infini.

 On peut à nouveau remarquer le nom d'« Aleph », donné par Borges au point qui contient tous les autres points, et par Cantor au cardinal de l'ensemble des entiers. De tels nombres s'appellent des « cardinaux transfinis », parce qu'ils se situent à la limite entre le fini et l'infini. Plus précisément, ils permettent de plaquer certains raisonnements du fini sur l'infini. La théorie de Cantor, « la fleur et la perfection de l'esprit mathématique » selon Hilbert, reste un produit de la recherche récente (fin du XIXeme siècle), que peu de monde connaissait lorsque Borges a écrit « L'Aleph ». Pourtant, à la fin de la nouvelle, Borges cite quelques références au mot « Aleph », parmi lesquelles on trouve : « c'est le symbole des nombres transfinis, dans lesquels le tout n'est pas plus grand que la partie » (AL 209). Il avait aussi compris que l'axiome du tout et de la partie est au coeur d'une réflexion sur l'infini. L'écrivain de l'infini a donc poussé l'étude jusqu'aux mathématiques, cette science qui devait, par ailleurs, lui paraître laborieuse.

 La place que tiennent les mathématiques dans l'univers borgesien est mise en évidence dans « La Bibliothèque de Babel » (F 71). Cette science est ici le symbole d'une complexité à la limite de l'humain. En effet, seules quelques pages parmi la multitude de volumes ont pu être déchiffrées : « il s'agissait d'un dialecte lituanien du guarani, avec des inflexions d'arabe classique. Le contenu fut également déchiffré : c'étaient des notions d'analyse combinatoire, illustrées par des exemples de variables à répétition constante » (F 75). Pauvres bibliothécaires qui, après des siècles de recherches, ne trouvent qu'une théorie à peine compréhensible ! Les mathématiques servent ici à renforcer le gigantisme de la Bibliothèque. Une telle utilisation permet d'avancer que Borges, s'il s'y intéressait, devait se sentir dépassé par cette science dont le but est de toujours augmenter sa propre complexité. Les mathématiques sont donc un nouveau symbole de l'infini, ce qui justifie leur étude ici. De plus, certaines avancées récentes de la recherche (1980) permettent de faire d'intéressants parallèles entre ces résultats et de nombreuses allusions troublantes de Borges. Il est tentant de voir en lui un visionnaire des mathématiques, qui bien qu'extérieur à ces questions, aurait deviné certains principes qui ne devraient être démontrés que bien plus tard.

Achille et la tortue

Ce n'est en tout cas pas à propos d'Achille et de la tortue que Borges s'est montré visionnaire. Négligeant peut-être volontairement certains résultats mathématiques, il continue à présenter ce problème sous sa forme insoluble, car c'est de cette dernière qu'il a besoin dans ses nouvelles. Rappelons le problème :

Achille est supposé dix fois plus rapide que la tortue, laquelle est gratifiée de 90 mètres d'avance au moment du départ (t = 0). Quand Achille a parcouru ces 90 m, la tortue ne le précède donc plus que de 9 m (instant t1) ; ces 9 m étant franchis à leur tour, la tortue le précède encore de 0, 9 m (instant t2). Et ainsi de suite : la tortue possède un dixième d'écart d'avance aux instants t1, t2, t3... indéfiniment. [2]

Achille ne rattrape jamais la tortue ! Or l'expérience la plus simple prouve le contraire. Le paradoxe réside dans le fait que l'on somme un nombre infini de fractions de temps. A chaque itération, on ajoute une durée qui vaut un dixième de la précédente. Donc, pour la neme itération, on ajoute au temps déjà écoulé (1/10)n. Ce qui intervient maintenant, c'est la théorie de la convergence. On a longtemps cru qu'une somme d'un nombre infini de termes était infinie. Or, il se peut qu'elle diverge ou qu'elle converge. Dans le cas présent, on utilise la formule : S n=0 ¥ (1/10)n = 10/9. Cette valeur est le temps au bout duquel Achille rattrapera effectivement la tortue. Avant de connaître ces résultats, le problème était insoluble. Puisque Achille ne doublait jamais la tortue, le mouvement même n'avait plus aucun sens ! Ou alors, il fallait remettre en question la divisibilité à l'infini du temps, introduire des quanta temporels, comme les atomes pour le domaine matériel. On a aussi vu dans ce paradoxe la preuve que l'infini actuel n'existait pas. En effet, alors que la somme prise comme la limite d'une suite finie à chaque étape (lim n®¥ Sk=0k=n (1/10)k) appartient à l'infini potentiel, la valeur de cette somme, le symbole S n=0 ¥ (1/10)n n'a de sens que si l'infini actuel existe. On retrouve encore une fois cet éternel problème. Il n'est pas prêt d'être réglé au vu des derniers progrès de la physique quantique : « il se peut que nous nous dirigions vers une conception granulaire de l'espace et du temps. Il se peut donc que le finitisme - physique - ne resurgisse de ses cendres » [3] .

La définition de Dedekind

Le grand paradoxe de l'infini, c'est celui de la réflexivité. Contrairement aux ensembles finis, les ensembles infinis sont réflexifs : il est possible de les mettre en correspondance bi-univoque (en bijection) avec une de leurs parties propres (sous-ensembles propres). En contradiction avec l'axiome, intuitivement évident, du tout et de la partie, la réflexivité est une relation paradoxale qui impose l'abandon des propriétés les mieux établies de nos concepts lorsque ceux-ci affrontent l'infini [4] .

 Quelques notions sont peut-être à préciser. Une bijection est une relation entre deux ensembles qui, à chaque élément du premier, fait correspondre un unique élément du second. L'axiome du tout et de la partie, quant à lui, peut se résumer ainsi : « le tout est plus grand que la partie ». S'il paraît évident, c'est que la définition du mot « grand » est imprécise. Pour s'en persuader, il suffit de considérer un ensemble infini, car il contredit cet axiome. Le tout n'est pas plus grand que la partie !

Ces paradoxes de la réflexivité furent étudiés par Bolzano. Ils sont fondés sur le fait que l'existence d'une bijection entre deux ensembles impose qu'ils aient le même nombre d'éléments. Or, si on applique ceci à deux segments de droite, [0, 1] et [0, 2], la bijection (f(x)=2x) impose que les deux segments possèdent autant de points. Donc le nombre de points du segment [1, 2] est égal à zéro ! Ce résultat absurde prouve que les ensembles infinis ne suivent pas cette propriété d'égalité des cardinaux, ou que la notion même de cardinal n'a pas de sens.

 Puisque le principe de l'égalité des cardinaux de deux ensembles mis en bijection n'a pas pu être remis en question, Dedekind a proposé la définition suivante d'un ensemble infini :

C'est un ensemble E tel qu'il y ait une bijection de E sur une de ses parties [5] .

Cette définition résout artificiellement tous les paradoxes de la réflexivité. Elle ouvre aussi une nouvelle voie de recherche, puisqu'il n'est plus utile d'étudier le nombre d'éléments d'un ensemble pour savoir s'il est ou non fini, mais il suffit de comparer sa structure et celle d'une de ses parties. En effet, si les structures d'un ensemble et d'une de ses parties sont suffisamment similaires pour que l'on puisse les appeler « isomorphes » (même forme), cela revient exactement à prouver l'existence de cette bijection qui prouve l'infinitude de l'ensemble. Ce résultat peut se comprendre intuitivement. Si une partie et un ensemble ont des structures isomorphes, la partie doit posséder une sous-partie avec laquelle elle soit en bijection. Donc la partie et la sous-partie sont elles-mêmes isomorphes et on peut itérer le processus indéfiniment. Ceci prouve qu'il existe une infinité de sous-parties de l'ensemble incluses les unes dans les autres. Ces sous-parties sont toutes non vides car l'isomorphie d'une étape à l'autre interdit que l'une d'entre elles soit vide. Cet ensemble est donc infini.

Nous verrons dans le prochain chapitre qu'il est vraisemblable que Borges la connaissait (ou qu'il a eu une intuition géniale), et qu'il l'a utilisée, ainsi que l'axiome du tout et de la partie, afin de créer une nouvelle forme d'infini dans ses nouvelles.

Les fractales ou la monstruosité

 Les paradoxes de l'infini ont beaucoup souffert des progrès mathématiques du siècle dernier. Heureusement, d'autres questions sont apparues. La première est la nouvelle formulation du problème de l'existence de l'infini actuel, telle que nous l'avons vue précédemment.

Eponge de Menger.

 Beaucoup plus importante dans ses applications est la question du chaos. Alors que certaines branches de l'analyse ou de la géométrie paraissaient sans mystère, des comportements bizarres furent observés grâce aux progrès de l'informatique, par exemple. Une complexité infinie apparut là où la plus grande simplicité était attendue. Les fractales s'avèrent à présent le sujet de recherche le plus déroutant, et celui qui a le plus d'applications.

Qu'est-ce qu'une fractale ? C'est un objet mathématique monstrueux [6] . Il est défini par une dimension non-entière. Une droite est de dimension un, une surface de dimension deux, un volume de dimension trois. Une courbe fractale peut, elle, être de dimension 1.5 ou (log(2)/log(3)) ! Pour se convaincre que nos chercheurs ne sont pas devenus fous, il suffit d'observer l'éponge de Menger [7] ci-dessus. Cet objet monstrueux a une surface infinie et un volume nul. Il est nul du point de vue volumique, infini du point de vue de la surface. Il est donc raisonnable de lui assigner une dimension comprise strictement entre 2 et 3. La dimension fractionnaire est ainsi à l'origine de la définition des fractales.

La vallée des hippocampes.

 Ce qui nous intéressera le plus dans le prochain chapitre, c'est une caractéristique des fractales, connue sous le nom d'« autosimilarité ». Une figure géométrique est dite autosimilaire lorsqu'elle est identique à l'une de ses parties à un changement d'échelle près. On retrouve la définition de Dedekind dans le cas très particulier où la bijection considérée est un changement d'échelle.

Il est alors bien entendu impossible de vérifier l'axiome du tout et de la partie, puisque le tout est identique à une de ses parties. Rien ne vaut une image pour se représenter ce que l'on pourrait appeler « l'inclusion du tout dans la partie ». Les figures suivantes présentent une partie de la « vallée des hippocampes » [8] de l'ensemble de Mandelbrot, un objet fractal aux limites du chaos et de la beauté [9] . La première figure montre un hippocampe parmi le nombre infini des hippocampes. La figure suivante est un agrandissement du rectangle dessiné sur la queue de l'hippocampe de la première figure. Et ainsi de suite. Ce qui frappe à propos de la queue, c'est qu'elle semble elle-même constituée d'une infinité d'hippocampes identiques au premier. L'observation des agrandissements suivants montre bien que tous les hippocampes sont identiques au premier, et donc eux-mêmes constitués d'une infinité d'hippocampes, dans la queue aussi bien que dans la tête. Le motif de base est contenu une infinité de fois dans lui-même !

 Ces images ont une particularité intéressante. Elles ne peuvent se classer ni dans l'infini potentiel, ni dans l'infini actuel, puisqu'elles regroupent, en un sens, les deux. Par exemple, la queue d'un hippocampe est potentiellement infinie si on la considère du point de vue des inclusions successives du tout dans la partie, mais elle est actuellement infinie en ce qu'elle est, c'est-à-dire par le seul fait qu'elle se contienne.

 Tous ces objets sont monstrueux, au sens où ils n'ont pas de place dans notre système de pensée avant que nous ne les rencontrions. De même, les membres des listes borgesiennes étaient qualifiés de monstrueux par Foucault. Ici, le trouble est amplifié par le vertige que l'on ressent à observer ces figures, qui n'est pas sans rappeler celui de la mise en abyme chez Borges. La monstruosité borgesienne ne se limite pas à celle qu'a étudiée Foucault. Elle utilise les mêmes procédés que ceux que les mathématiciens découvrent actuellement. Et certains textes de Borges évoquent des images mathématiques, comme les fractales.



[1] Hourya Sinaceur, postface de Infini des mathématiciens, op. cit., p. 198.

[2] Science et Avenir, mars 1993, p. 83.

[3] Koyre, op. cit., p. 15.

[4] Infini des mathématiciens, op. cit., p. 175.

[5] Ibid., p.7.

[6] Cet adjectif est couramment utilisé par les mathématiciens eux-mêmes.

[7] Gleik, La Théorie du chaos, Flammarion, 1991, p. 135.

[8] The Beauty of Fractals, op. cit., pp. 84-86.

[9] Savoir si un tel objet peut être qualifié de beau est le thème de The Beauty of Fractals.

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