Les théorèmes de Gödel
 
Les idées arrêtées couramment admises à propos des mathématiques présentent ce domaine comme une grande théorie cohérente. Toute incohérence y est apparente, dûe à des erreurs dans les prémices, qu’une autre théorie plus générale viendra corriger.
Une telle conception confère aux maths un caractère quasi divin, an-humain. Elles renvoient l’homme à ses propres limites. Elle ne permet pas d’imaginer qu’il puisse exister une limite intrinsèque des maths. Pour les tenants de la toute puissance des sciences, pour ceux qui ont troqué Dieu pour un autre type d’absolu, les maths représentent la forteresse inébranlable de la rationalité. En effet, le dépouillement mathématique, libéré de toute contingence physique (l’expérience n’est pas une preuve en maths, tout au plus un moyen statistique d’avoir une idée du phénomène), ce dépouillement de l’homme même (les maths existent-elles indépendamment de l’homme ? tel était le sujet du dialogue un peu stérile de Matière à Penser), ce dépouillement absolu, donc, qui ne garde que la logique, l’irréfutable, a toujours conféré aux maths leur caractère absolu, voire divin.
C’est pourtant dans l’étude des maths dans ce qu’elles ont de plus carré (la logique et l’arithmétique), que furent ouvertes les premières brèches. Ces failles, plutôt, car elles séparent réellement des territoires mathématiques, peuvent s’exprimer assez simplement par des questions en français (tirées des cours de M. Lascar, directeur de recherche au CNRS) :
1. « Est-il vrai que toute formule close du langage de l’arithmétique [i. e. énoncée à partir des symboles du langage] est soit démontrée, soit réfutée (c’est-à-dire que sa réfutation est démontrée) dans ce langage ? »
2. « Est-il possible de décider si une formule close du langage est démontrable ? »
Non. Autrement dit :
1. il existe des formules dont on ne peut ni démontrer qu’elles sont vraies, ni qu’elles sont fausses ;
2. on ne peut même pas savoir a priori si une formule est démontrable.
Pire, le deuxième point se prouve « en construisant une formule qui affirme qu’elle est elle-même non démontrable ». Ce que M. Lascar compare au paradoxe d’Epiménide le Crétois qui prétendait que tous les Crétois étaient des menteurs. A la différence qu’ici, ce n’est pas le langage humain, avec toutes ses nuances, ses interprétations qui est utilisé, mais le langage mathématique, autrement appelé logique.
Ces résultats ont été démontrés par Gödel dans les années 50. On les appelle les théorèmes d’incomplétude de Gödel. Ils prouvent que toute théorie mathématique est soit incomplète, soit incohérente. Ils remettent en question des certitudes bien établies. Ainsi les maths ne forment pas un tout cohérent, il faut faire des choix (est-on loin du pari de Pascal ?).
Par exemple, certaines questions qui touchent les cardinaux infinis de Cantor (le « nombre » total d’entiers, le « nombre » de réels...) n’ont tout simplement pas de réponse. Non pas, « on ne sait pas », mais bien « il n’y a pas de réponse ». De là des failles dans les maths. Ces failles qui séparent les maths en branches distinctes et contradictoires. L’une de ces branches étudie le «oui » à une question, l’autre le « non ». Elles sont aussi « vraies » l’une que l’autre, parce qu’aucune ne peut être démontrée, et ne le sera jamais.
La contradiction était jusqu'à présent l'apanage des poètes : « La poésie est un territoire où toute affirmation devient vérité. Le poète a dit hier : la vie est vaine comme un pleur, il dit aujourd'hui : la vie est gaie comme le rire et à chaque fois il a raison. Il dit aujourd'hui : tout s'achève et sombre dans le silence, il dira demain : rien ne s'achève et tout résonne éternellement et les deux sont vrais. Le poète n'a besoin de rien pour prouver ; la seule preuve réside dans l'intensité de son émotion. » (Milan Kundera, La Vie est ailleurs).


La contradiction touche aussi la logique... Et alors, où est le problème ? Est-ce si décourageant de penser que les maths puissent se contredire ? que le vrai ET le faux sont relatifs ? Que l’on peut répondre oui ET non à une même question ? Non, ce n’est pas décourageant, c’est exaltant au contraire, c’est la preuve qu’il n’y a pas de vérité absolue, qu’on est libre...

 

(...retour...)

 
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